Geometri Denilince Akla Gelen Birinci İsim Öklid’in Bulduğu Öklid Teoremini En Kolay Haliyle Açıkladık
Matematik dediğimiz anda bile eminiz pek çok kişinin karnına ufak kramplar giriyordur zira kabul edelim ülke olarak sayılarla aramız pek düzgün değil. Lakin enteresandır, günümüzden binlerce yıl evvel matematiğin temel kurallarını belirleyen isimlerin büyük bir kısmı ya topraklarımızda ya da yakın topraklarda yaşadı. İşte bu isimlerden bir tanesi de geometrinin kurucusu olarak anılan Öklid’dir.
Öklid denilince aklımıza birinci gelen, kendi ismiyle anılan Öklid teoremi oluyor. Tarih boyunca pek çok matematikçi tarafından farklı ispatlarla açıklanan bu teorem, Öklid tarafından kaleme alınan ve günümüze kalan tek kitabı olan Elementler’de anlatılır. Elementler kitabı Öklid’i anlamak için son derece değerlidir çünkü bulduğu aksiyom sistemi, geometrinin temelini oluşturur.
Hiç bilmeyenler için kısaca anlatalım: Öklid kimdir?
Öklid, milattan evvel 330 yılında Mısır’ın İskenderiye kentinde doğduğu ve milattan evvel 257 yılında birebir yerde öldüğü varsayım edilen antik periyot matematikçisidir. Tahmin edilen diyoruz zira İskenderiyeli Öklid olarak da anılan bu tarihi figürün hayatı hakkında neredeyse hiçbir şey bilinmiyor. Ondan geriye kalan en değerli miras Elementler ismini verdiği geometri kitabıdır. Bu nedenle kendisi geometrinin kurucusu olarak da anılır.
Öklid’in aslında Elementler kitabından öbür eserler de kaleme aldığı söylenir lakin bunların hiçbiri günümüze ulaşamamıştır. Milattan sonra 5. yüzyılda yaşamış Atinalı Filozof Proclus, dağınık haldeki Elementler kitabını bir ortaya getirdiğini söyler. Emsal periyotta yaşamış Stobaeus ise Öklid hakkındaki en yanlışsız el yazmalarını topladığını söyler.
Öklid aslında geometrinin dağınık modüllerini bir ortaya getirdi:
Öklid periyodunda ve öncesinde de aslında o devir yaşayan şahıslar bir halde geometri ve matematikle uğraşıyor ve uygulamalı teknikler kullanıyorlardı. Örneğin Antik Mısır periyodunda yaşayanlar uygulamalı teknikler kullanarak daire ve kare hesaplamaları yapıyorlardı. Pi sayısını gerçeğine epeyce yakın bir formda 3.16 olarak alıyorlardı.
Antik Babillilerin uygulamalı matematik üzerine değerli çalışmaları vardır. Günümüze kadar gelen tabletlerine baktığımız vakit Pisagor teoremine uygun çalışmalar yaptıklarını görüyoruz. İşte Öklid tüm bunları aldı, düzenledi, denetim etti ve ispat ettiklerini Elementler kitabında toplayarak geometriyi kurdu.
Elementler kitabında geometri, bir aksiyom sistemi olarak sunulur:
Öklid tarafından hazırlanan Elementler kitabı bir tıp ders kitabı niteliğindedir ve 3 temel kısma ayrılmış 13 alt başlıktan oluşur. Düzlem geometrisinin, aritmetiğin, sayı teorisinin ve katı geometrinin anlatıldığı kitapta tanımlar, postülatlar ve aksiyom ismi verilen ortak fikirler vardır. Kitap tüm bunları bir tıp aksiyom sistemi olarak sunar. Kitapta anlatılan kimi postülat ve aksiyomlar şu halde;
- Postülatlar;
- Herhangi bir noktaya, rastgele bir öteki noktadan düz yanlışsız çizilir.
- Bir yanlışsız modülünü her iki istikamete gerçek eşit olarak daima uzatabiliriz.
- Bir merkez ya da yarıçap ile çember tarifi yapılabilir.
- Tüm dik açılar birbirine eşittir.
- Aksiyomlar;
- Bir şeye eşit olan şeyler, birbirlerine de eşit olur.
- Eşit ölçüye ne kadar eşit eklenirse tüm eşit olur.
- Eşitten eşit çıkarırsak kalanlar eşit olur.
- Birbiriyle çakışan ve özellikleri tıpkı olan şeyler eşittir.
- Tüm, her vakit modülden büyüktür.
Öklid’in tesiri günümüzde bile sürüyor:
Öklid tarafından yazıldığı bilinen Elementler dışında Data, Geometrik Formların Bölünmesi, Olaylar ve Optik isimli öbür çalışmalar da var. Bunlar Elementler kadar geniş kitaplar değil yalnızca birtakım çalışmalardır lakin günümüze kadar gelmeyi başarmışlardır. Günümüze kadar gelmeyen kitaplarının varlığını ise antik periyot yazmalarında ona yapılan atıflardan biliyoruz.
Neredeyse 19. yüzyılın sonuna kadar Elementler kitabı bilinen en hakikat ve eksiksiz mantık yürütme olarak kabul edildi. Hollandalı Filozof Baruch de Spinoza’nın 17. yüzyılda kaleme aldığı Etik kitabı, Elementler kitabını model almıştır. Avusturyalı Ekonomist Ludwig von Mises’in 20. yüzyılda kaleme aldığı İnsan Aksiyonu isimli kitap da Öklid’in metodunu benimsemiştir.
Peki ya Öklid teoremi nedir?
Bugün Öklid teoremi olarak anılan teorem, sonsuz sayıda asal sayı olduğunu söyler. Daha sonra pek çok matematikçi tarafından da ispat edilen Öklid teoremi, Öklid tarafından Elementler kitabında anlatılmıştır. Kısaca özetlemek gerekirse;
- p1, p2, …, pn bir sonlu asal sayı listesidir.
- P = p1p2…pn. q = P + 1 olursa q ya asal değildir ya da asaldır.
- Asal ve asal olmamasına nazaran süreçler değişir.
Bir de Öklid bağıntısı var:
Üstteki hale nazaran;
- h² = p x k
- b² = k x a
- c² = p x a
Öklid’in yazdığı düşünülen kayıp yapıtları:
Antik periyot muharrirlerinin atıflarında bahsedilen bazı yapıtların Öklid tarafından yazdığı ancak günümüze kadar gelmediği düşünülüyor. Örneğin Konikler isimli kitabında konik kesitler hakkında çalışmalar yapmıştır. Tıpkı bahis Pergalı Apollon tarafından daha geniş bir biçimde anlatılmıştır.
Mekanik üzerine yapılan sayısız çalışma, bilhassa Arap kaynaklarında, Öklid’e atfedilir. Gezenek Yüzeyi isimli yüzeyler hakkındaki çalışmaları ve Yanlışlar Kitabı ismindeki akıl yürütme yanılgıları hakkındaki çalışmaları da Öklid’in kayıp yapıtları ortasındadır. Porism isimli bir öteki kitabın ise konik kesim çalışması olduğu düşünülür fakat kitabın isminin manası konusunda herkesin farklı niyetleri vardır.
Geometrinin kurucusu olarak kabul edilen Öklid kimdir, Öklid teoremi nedir üzere merak edilen soruları yanıtladık. Öklid çalışmaları üzerine yapılan ispatlar oldukça karmaşık sayısal kavramlar içerdiği için baş karıştırmaması ismine yer vermedik.